25-04-2023
Квантовая логика — раздел логики, необходимый для рассуждения о предложениях, которые учитывают принципы квантовой теории. Эта область исследований была основана в 1936 году работой Гарита Бирхофа и Джона фон Неймана, которые пытались примирить очевидную несогласованность классической логики с фактами по поводу измерения дополнительных переменных в квантовой механике, как например координата и импульс.[1]
Квантовая логика может быть сформулирована как измененная версия логики высказываний. Она имеет несколько свойств, которые отличают её от классической логики. В частности, отсутствие дистрибутивности:
,
где символы , и — логические переменные.
Чтобы проиллюстрировать, почему дистрибутивный закон не работает, рассмотрим движущуюся по прямой частицу. Далее, пусть логические переменные , и имеют следующие значения:
Тогда предложение «» всегда верно, точно как и
С другой стороны, «» и «» неверны, так как требуют более жёстких условий одновременных значений позиции и инерции, что не возможно по принципу неопределённости Гейзенберга. Поэтому
и дистрибутивность не может существовать.
Представьте лабораторию, которая имеет аппаратуру, необходимую для измерения скорости пули, выпущеной из огнестрельного оружия. Тщательно подбирая условия (температуру, влажность, давление и т.д.), необходимо неоднократно выстрелить из одного и того же оружия и провести измерения скоростей. Это даст некоторое распределение скоростей. Однако мы не будем стремиться получить тем же образом эти значения для каждого индивидуального измерения, для каждой группы измерений; мы ожидаем, что эксперимент приводит к такому же распределению скоростей. В частности, мы можем ожидать распределения вероятностей предложениям, например, { a ≤ скорость ≤ b}. Поэтому естественно предложить, что при контролируемых условиях подготовки измерение классической системы можно описать мерой вероятности на пространстве состояний. Такая же статистическая структура также присутствует в квантовой механике.
Мера квантовой вероятности функция P определяется на Q со значениями в [0,1] таком, что P(0) =0, P(I) =1 и если {Ei}i — последовательность парами ортогональных элементов Q, тогда справедлива следующая теорема:
Теорема Эндрю Глизона: Пусть H — отделимое комплексное Гильбертово пространство, как минимум размерности 3. Оператор S не обязательно отрицателен (это все собственные значения не отрицательны) и следа 1. Такой оператор часто называется оператором плотности.
Физики обычно представляют оператор плотности, как матрица плотности относительно некоторого ортонормального базиса.
Для более подробной информации о статистике квантовых систем, смотрите квантовую статистическую механику.
Квантовая логика.