В теории категорий элемента́рный то́пос — это категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств. В рамках теории элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.
Определение
Элементарный топос — это декартово замкнутая категория, в которой существует выделенный объект , называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта , называемый истиной (также обозначается ), такой что для любого мономорфизма существует единственный морфизм , для которого диаграмма
является декартовым квадратом.
Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и декартов квадрат любых двух стрелок с общим концом, а также экспоненциал любых двух объектов и и классификатор подобъектов .
Свойства
Примеры
- Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств и — это множество отображений из в . Классификатор подобъектов — это множество , при этом — естественное вложение в , а — характеристическая функция подмножества множества , равная 1 на элементах и 0 на элементах . Подобъекты — это его подмножества.
- Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
- Для любой категории категория функторов является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов функтор морфизмов даётся формулой
- Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов на объекте равен множеству подфункторов представимого функтора .
- Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, , то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе . Единственное отличие: есть множество всех подпучков представимого пучка .
- Более общо, для любой категории с заданной топологией Гротендика категория -пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
- Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.
Литература
- Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
- П.Т. Джонстон Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
- F. Borceux Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3
- P.T. Johnstone Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X
См. также
