06-09-2023
Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI) или число Армстронга — натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его цифр. Иногда чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны m — тогда число можно назвать m-самовлюблённым.
Например, десятичное число 153 — число Армстронга, потому что:
Содержание |
Пусть — число, записываемое в системе счиления с основанием b.
Если при некотором m случится так, что , то n является m-самовлюблённым числом. Если, сверх того, , то n можно назвать истинным числом Армстронга.
Очевидно, что при любом m может существовать лишь конечное число m-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого k .
В «Апологии математика (англ.)русск.» (англ. A Mathematician’s Apology), Г. Харди (англ.)русск. писал:
«Есть только четыре числа, исключая единицу, которые равны сумме кубов своих цифр:
и .
Это необычный факт, очень удобный для головоломных разделов в газетах и для развлечения любителей, но в нём нет ничего, что бы привлекало к нему математиков»
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, … (последовательность A005188 в OEIS).
Иногда термином «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна, числа Фридмана, счастливые билеты и т. п.
Число Армстронга.