Билинейная операция на линейном пространстве называется удовлетворяющей тождеству Якоби, если:

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах Ли

Если умножение антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

Записав тождество Якоби в форме

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора :

Таким образом,  — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

Это означает, что оператор задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

Пусть — градуированная алгебра, - умножение в ней. Говорят, что умножение в удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов

Примеры

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;