Симметрическая разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество элементов этих множеств, принадлежащих только одному из них. Симметрическая разность множеств и обозначается как В некоторых источниках используется другое обозначение:

Определение

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

• симметрическая разность двух заданных множеств и — это такое множество , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

• симметрическая разность двух заданных множеств и — это такое множество , куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства

• Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;
• Симметрическая разность коммутативна:

• Симметрическая разность ассоциативна:

• Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

• Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

• Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

• В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
• Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем
• В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.

• Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо без единицы. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

Пример

Пусть

Тогда

См. также

• Операции над множествами

Литература

• К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 23—26.