Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке функции (обычно обозначается , иногда или ) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

• Если последовательность элементов из сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции , то при .
  • Отсюда:  — банахово пространство.
• Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
• В не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) называется множество всех непрерывных ограниченных функций со введённой на нём нормой:

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность

Его пополнение есть  — пространство суммируемых функций.

Литература

• А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
• Л. А. Люстерник, В. В. Соболев Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
• M. Reed, B. Simon Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
• К. Иосида Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.