11-06-2024
Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.
Множество является подмножеством множества , если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Формальное определение:
Множество называется надмно́жеством множества , если — подмножество .
Существует два символических обозначения для подмножеств:
« является подмножеством » обозначается | « является собственным подмножеством » обозначается | Примечание |
---|---|---|
Внешний вид символа намекает, что если , то . | ||
Для понятия «подмножество» используется более простой символ, так как это понятие является более «фундаментальным». |
К сожалению, обе системы обозначений используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.
То, что называется надмножеством , часто записывают .
Множество всех подмножеств множества обозначается и называется булеаном.
Любое множество является своим подмножеством. Если мы хотим исключить из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:
Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:
Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[1].
Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется таких подмножеств.
Подмножество знак, подгруппа счетов, подмножество нечеткого множества, подмножество декартова произведения множеств значений которые может принимать элемент данных.
Комарихинское сельское поселение, Гельмонт, Ян Баптиста ван, Файл:Spit of the Vasilievsky Island - damaged Panorama 2008 3.jpg, Дросселирование тактов, Категория:Группы авангардного метала.