Парадокс Греллинга—Нельсона — это семантический самодескриптивный парадокс, сформулированный в 1908 году Леонардом Нельсоном и Куртом Греллингом и иногда ошибочно приписываемый немецкому философу и математику Герману Вейлю.^[1] Также называется парадоксом Вейля или парадоксом Греллинга. Парадокс похож на ряд аналогичных известных парадоксов, таких как парадокс брадобрея и парадокс Рассела.

Описание

Все прилагательные можно разделить на два класса:

1. Прилагательное называется автологическим (иногда — гомологическим) тогда и только тогда, когда оно описывает себя. Например, прилагательное «русское» само является русским, «многосложное» — многосложным, а «пятисложное» — пятисложным.
2. Прилагательное называется гетерологическим, если оно не описывает себя. Например, «новое» не является новым, «горячее» — горячим, а «английское» — английским.

Согласно определению этих групп, они представляют собой непересекающиеся множества. Каждое прилагательное либо описывает себя, либо нет.

Суть парадокса

Парадокс возникает в случае, если зададим вопрос: к какой из двух групп относится само прилагательное «гетерологический»? Если оно автологическое, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, оно не имеет обозначаемого им свойства и должно быть автологическим.

Возникает та же ситуация, что и в парадоксе Рассела: имеется множество всех прилагательных (в данном случае — русского языка), которое делится на две части так, что каждая из этих частей не является множеством, поскольку одновременно содержит и не содержит элемент, являющийся, несомненно, прилагательным. При этом понятие гетерологического прилагательного эквивалентно понятию правильного множества в парадоксе Рассела, а понятие автологического прилагательного — понятию неправильного множества.

Аналогично, если задать вопрос, является ли прилагательное «автологическое» автологическим, получаем следующую цепочку рассуждений:

• Если «автологическое» автологично, значит, оно описывает себя, значит, действительно автологично.
• Если «автологическое» не автологично, то есть не описывает себя, значит, оно неавтологично.

Ситуация в точности обратная. Любое предположение доказывается как истинное, в то время как с описанием «гетерологического» любое предположение оказывается ложным.

Логическое описание для «автологического»:

«Автологическое» автологическое тогда и только тогда, когда «автологическое» автологическое;

тогда и только тогда, когда ; получаем тавтологию

Логическое описание для «гетерологического»:

«Гетерологическое» гетерологическое тогда и только тогда, когда «гетерологическое» автологическое;

тогда и только тогда, когда не ; получаем противоречие.

Неопределенности

Могут возникнуть неопределённости в приписывании того или иного прилагательного к автологическим. Например, прилагательное «громкий» может быть автологическим в случае его громкого произнесения, в противном случае оно гетерологическое. Джей Ньюард разрешает эту проблему использованием теории типовых меток.^[2]

Схожесть с парадоксом Рассела

Возникает та же ситуация, что и в парадоксе Рассела: имеется множество всех прилагательных (в данном случае русского языка), которое делится на две части так, что каждая из этих частей не является множеством, поскольку одновременно содержит и не содержит элемента, являющегося, несомненно, прилагательным. При этом понятие гетерологического прилагательного эквивалентно понятию правильного множества в парадоксе Рассела, а понятие аутологического прилагательного — понятию неправильного множества.

См. также

• Список парадоксов

Примечания

Литература

• Grelling K. Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti // Abhandlungen der Fries’schen Schule II. — Göttingen, 1908. — P. 301–334. Also in: Nelson Leonard Gesammelte Schriften III. Die kritische Methode in ihrer Bedeutung für die Wissenschaften. — Hamburg: Felix Meiner Verlag, 1974. — P. 95–127. — ISBN 3787302220.
• Ramsey, Frank P. (1926). «The Foundations of Mathematics». 10.1112/plms/s2-25.1.338.
• Peckhaus Volker Paradoxes in Göttingen // One hundred years of Russell's paradox: mathematics, logic, philosophy. — Berlin: Walter de Gruyter, 2004. — P. 501–516. — ISBN 3110174383.