Операционное исчисление

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью весьма простых средств решать сложные математические задачи.

Содержание

1 История
2 Свойства изображений
3 Изображения различных функций
4 Пример применения операторных методов

История

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования (см. Операторное исчисление). Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая и считая для . Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа и оператором дифференцирования Именно, если существует производная , для которой существует и , то

Свойства изображений

Линейность

Изображение линейной комбинации функций равно линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.

где a и b – произвольные комплексные числа.

Теорема подобия

где a>0.

Дифференцирование оригинала

Дифференцирование изображения

Интегрирование оригинала

Интегрирование изображения

Теорема смещения

Теорема запаздывания

Теорема умножения (свёртки)

Изображения различных функций

Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение

Пример применения операторных методов

Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение традиционным методом

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй - на индуктивности L.

Делаем замену переменной и приводим уравнение к виду:

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

Разделяем переменные:

$~\frac{b'}{b} = -\frac{R}{L}; \qquad \ln b = -\frac{R}{L}t; \qquad b = e^{-\frac{R}{L}t}.$

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

$~U = La'e^{-\frac{R}{L}t}; \qquad a'=\frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L};$

Интегрируя, получаем

Получаем выражение для тока

$~i=ab= \left( \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C \right) \cdot e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{U}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t};$

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

$~i(0)=0; \qquad \frac{U}{R}+C=0;\qquad C = -\frac{U}{R}.$

Окончательно получаем

$~i= \frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right).$

Решение операторным методом

Найдём изображения каждого из слагаемых дифференциального уравнения:

$~i \Rightarrow I; \qquad U \Rightarrow \frac{U}{p}; \qquad iR \Rightarrow IR; \qquad L\frac{di}{dt} \Rightarrow L \left[ pI-i(0) \right]= pLI.$

Получаем следующее изображение дифференциального уравнения

$~\frac{U}{p}=RI+pLI=I(R+pL).$

Из последнего выражения найдём изображение тока:

Таким образом, решение сводится к нахождению оригинала тока по известному изображению. Разложим правую часть уравнения на элементарные дроби:

$~\frac{U}{p(R+pL)} = \frac{A}{p}+\frac{B}{R+pL} = \frac{A(R+pL)+Bp}{p(R+pL)} = \frac{AR+p(AL+B)}{p(R+pL)};$

$~I = \frac{U}{Rp}-\frac{UL}{R(R+pL)} =\frac{U}{Rp}-\frac{U}{R(\frac{R}{L}+p)} =\frac{U}{R} \left(\frac{1}{p} - \frac{1}{\frac{R}{L}+p} \right).$

Найдём оригиналы элементов последнего выражения:

Окончательно получаем

Вывод

Операционное исчисление чрезвычайно удобно в электротехнике для расчёта динамических режимов различных цепей. Алгоритм расчёта следующий.

1) Все элементы цепи рассматриваем как сопротивления Z_i, величины которых находим исходя из изображений переходных функций соответствующих элементов.

Например, для резистора:

Для индуктивности:

Для ёмкости:

2) Используя указанные значения сопротивлений, находим изображения токов в цепи, используя стандартные методы расчёта цепей, применяемые в электротехнике.

3) Имея изображения токов в цепи, находим оригиналы, которые и являются решением дифференциальных уравнений, описывающих цепь.

Замечания

Интересно отметить, что полученные выше выражения для операторного сопротивления различных элементов с точностью до преобразования

совпадают с соответствующими выражениями для сопротивлений в цепях переменного тока:

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Gulchatai-krd.ru

Узбекская кухня

Разделы