19-06-2023
Импликация (лат. implicatio — связь) — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».
Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).
Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:
Содержание |
В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например или или «ложь», «истина».
Правило:
Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация — это сокращённая запись для выражения .
Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b) (материальная импликация, материальный кондиционал)
если , то истинно (1),
«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.
обратная импликация (от b к a, )
если , то истинно (1),
обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).
отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (),
разряд займа в двоичном полувычитателе,
Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒, и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂ B, тогда
a ∈ A ⇒ a ∈ B.
Например, если A — множество всех квадратов, а B — множество прямоугольников, то, конечно, A ⊂ B и
(a — квадрат) ⇒ (a — прямоугольник)
(если a является квадратом, то a является прямоугольником).
В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.
Можно доказать эквивалентность импликации A → B формуле (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).
В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A→⊭, где ⊭ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.
В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.
В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».
В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программмы:
if ( выражение_для_проверки_A ) {
//if ( выражение_для_проверки_B ) {
сделать_что-то_полезное;
//}
//else {
// сбой;
//};
}
else {
сделать_что-то_на_случай_ложности_A;
};
будет успешно выполняться если и только если верна импликация A→B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором AND или &&. При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) проверка идет до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить еще один условный оператор.
В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.
Логическое следование.