10-09-2023
Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ.[1] Для этого можно использовать: Закон двойного отрицания, Закон де Моргана, Дистрибутивность.
Содержание |
Формулы в КНФ:
Формулы не в КНФ:
Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:
1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:
2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:
3) Избавиться от знаков двойного отрицания.
4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.
Приведем к КНФ формулу
Преобразуем формулу F к формуле не содержащей → :
В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:
По закону дистрибутивности получим КНФ:
k-конъюнктивной нормальной формой называют конъюнктивную нормальную форму, в которой каждая дизъюнкция содержит ровно k литералов.
Например, следующая формула записана в 2-КНФ:
Если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z, то добавляем в нее выражение : (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона):
Таким образом, из КНФ получена СКНФ.
Следующая формальная грамматика описывает все формулы, приведенные к КНФ:
где <терм> обозначает произвольную булеву переменную.
В теории вычислительной сложности важную роль играет задача выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме. Согласно теореме Кука, эта задача NP-полна, и она сводится к задаче о выполнимости формул в 3-КНФ, которая сводится и к которой в свою очередь сводятся другие NP-полные задачи.
Задача о выполнимости 2-КНФ формул может быть решена за линейное время.
КНФ.