Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправдано.

Получение формул

Для неопределённого интеграла

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»: , что очевидно неверно.

для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Примеры

• Иногда этот метод применяется несколько раз:

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

Таким образом один интеграл выражается через другой:

Решив полученную систему, получаем:

См. также

• Интеграл
• Интеграл Римана
• Методы интегрирования
• Дискретное преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям для сумм.

Литература

• Маслов А. П., Белоус Е. А. Тема 5.2 // Математика для инженеров (2 курс).
• Тимофеев А. Ф. Интегрирование функций. — М.—Лен.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — С. 37-42.

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки

• Математика для заочников и не только. Архивировано из первоисточника 26 августа 2011. Проверено 11 мая 2011.
• Канал СЗТУ на сайте youtube.com. Проверено 11 мая 2011.