26-07-2023
В теории графов изоморфизмом графов и называется биекция между множествами вершин графов такая, что любые две вершины и графа смежны, если и только если вершины и смежны в графе . Здесь графы понимаются неориентированными и не имеющими весов вершин и ребер. В случае, если понятие изоморфизма применяется к ориентированным или взвешенным графам, накладываются дополнительные ограничения на сохранение ориентации дуг и значений весов. Если изоморфизм графов установлен, они называются изоморфными и обозначаются как .
Иногда биекция записывается в виде подстановки изоморфизма . Некоторые задачи обработки графов требуют не только проверки изоморфизма, но и выяснения его подстановки.
Отношение изоморфизма графов представляет собой отношение эквивалентности, определенное для графов, и позволяет произвести разбиение исходного класса всех графов на классы эквивалентности. Множество графов, изоморфных друг другу, называется классом изоморфизма графов (англ.), их число в зависимости от представляет собой последовательность A000088 в OEIS (1, 1, 2, 4, 11, 34, 156, 1044, 12346, ...).
В случае, если биекция отображает граф сам на себя (графы и совпадают), она называется автоморфизмом графа .
Содержание |
Два графа, приведенные в примере, являются изоморфными.
Граф | Граф | Изоморфизм между графами и | Подстановка изоморфизма |
---|---|---|---|
|
Графы и являются изоморфными, если путем перестановки строк и столбцов матрицы смежности графа удается получить матрицу смежности графа . Однако перебор всех возможных перестановок характеризуется вычислительной сложностью (при условии, что сравнение матриц смежности производится за время, не зависящее от , что обычно несправедливо и дополнительно увеличивает приведенную оценку), что существенно ограничивает применение подобного подхода на практике. Существуют методы ограниченного перебора возможных пар предположительно-изоморфных вершин (аналог метода ветвей и границ), однако они незначительно улучшают приведенную выше асимптотику[1].
Теорема Уитни об изоморфизме графов[2][3], сформулированная Хасслером Уитни в 1932 году, гласит, что два связных графа изоморфны, если и только если их рёберные графы (англ.) изоморфны, за исключением графов (полного графа из 3 вершин) и полного двудольного графа , которые не являются изоморфными, однако оба имеют граф в качестве рёберного графа. Теорема Уитни может быть обобщена для гиперграфов[4].
Существует набор числовых характеристик графов, называемых инвариантами, которые совпадают у изоморфных графов (совпадение инвариантов является необходимым, но не достаточным условием наличия изоморфизма)[5]. К ним относятся число вершин и число дуг/ребер графа G, упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор степеней вершин , упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор собственных чисел матрицы смежности графа (спектр графа), хроматическое число и др. Факт совпадения инвариантов обычно не несет информации о подстановке изоморфизма.
Инвариант называется полным, если совпадения инвариантов графов необходимо и достаточно для установления изоморфизма. Например, каждое из значений и (мини- и макси-код матрицы смежности) является полным инвариантом для графа с фиксированным числом вершин .
Различные инварианты имеют различную трудоемкость вычисления. В настоящее время полный инвариант графа, вычислимый за полиномиальное время, неизвестен, однако не доказано, что он не существует. Попытки его отыскания неоднократно предпринимались в 60-х — 80-х годах XX века, однако не увенчались успехом.
Модульное произведение графов , предложенное В. Г. Визингом (англ.), позволяет свести задачу проверки изоморфизма к задаче определения плотности графа , содержащего вершин. Если , , то граф содержит подграф, изоморфный графу .
Хотя задача распознавания изоморфизма графов принадлежит классу NP, неизвестно является ли она NP-полной или принадлежит классу P (при условии, что P ≠ NP). При этом задача поиска изоморфного подграфа (англ.) в графе является NP-полной. Современные исследования направлены на разработку быстрых алгоритмов решения как общей задачи изоморфизма произвольных графов, так и графов специального вида.
На практике необходимость проверки изоморфизма графов возникает при решении задач хемоинформатики, математической (компьютерной) химии[6], автоматизации проектирования электронных схем (верификация различных представлений электронной схемы)[1], оптимизации программ (выделение общих подвыражений).
Изоморфизм графов.