Доказательство «от противного» (лат. Contradictio in contrarium) в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы в классической логике и законе двойного отрицания.

Схема доказательства

Доказательство утверждения проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение , которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению .

В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.

Пример

Доказательство иррациональности числа .

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и  — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и ; следовательно, делится на 4, а значит, и тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

См. также

• Апагогия
• Приведение к абсурду
• Метод бесконечного спуска