Дисперсионные соотношения — интегральные уравнения, связывающие действительную и мнимую части преобразования Фурье функции отклика линейной физической системы на внешние воздействия. Являются прямыми следствиями физического принципа причинности и не зависят от конкретного механизма взаимодействия системы с внешним воздействием.

Определение

Пусть f(z) является комплексной функцией, аналитичной в верхней полуплоскости и при . Предположим, что имеющая физический смысл функция F(x) есть f(z) на вещественной оси или, в случае наличия точки ветвления, предел f(z) при z, стремящемся к вещественной оси сверху.

Дисперсионные соотношения записываются в в виде интегральных уравнений:

здесь:  — символ интеграла в смысле главного значения. Дисперсионные соотношения выводятся с применением интегральной формулы Коши и, таким образом, не зависят от конкретной рассматриваемой модели физического явления.

Физический смысл

«Отклик» линейной системы на «возмущение» можно записать в виде: , где K(t) — функция Грина системы. Рассматриваемые функции f(z) представляют собой преобразования Фурье таких функций Грина: . Требование причинности, состоящее в невозможности возникновения отклика раньше причины, означает, что K(t)=0 при t<0. Следствием принципа причинности является то что функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости и при .

Где применяются

В квантовой теории поля, при расчёте амплитуд рассеяния. Дисперсионные соотношения связывают непосредственно получаемые из опыта величины такие как амплитуды вероятностей или сечения различных переходов.

История

Впервые были получены Крамерсом и Кронигом в классической теории дисперсии, при изучении зависимости показателя преломления среды от частоты света, для действительной и мнимой части показателя преломления среды.

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. // Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр. * К. Нисидзима Фундаментальные частицы. // пер. с англ. Б. А. Лысова, под ред. А. А. Соколова, Мир, 1965, гл. 4 Теория пионов, п. 9 Дисперсионные соотношения для пион-нуклонного рассеяния, с. 151;
• Бартон Г., Дисперсионные методы в теории поля, пер. с англ., M., 1968;