Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин взвешенного ориентированного графа. Данный алгоритм работает, если в графе содержатся рёбра с положительным или отрицательным весом, но отсутствуют циклы с отрицательным весом.

Алгоритм

Дан граф с весовой функцией . Если веса всех рёбер в графе неотрицательные, можно найти кратчайшие пути между всеми парами вершин, запустив алгоритм Дейкстры один раз для каждой вершины. Если в графе содержатся рёбра с отрицательным весом, но отсутствуют циклы с отрицательным весом, можно вычислить новое множество рёбер с неотрицательными весами, позволяющее воспользоваться предыдущим методом. Новое множество, состоящее из весов рёбер , должно удовлетворять следующим свойствам.

• Для всех рёбер новый вес .
• Для всех пар вершин путь является кратчайшим путем из вершины в вершину с использованием весовой функции тогда и только тогда, когда — также кратчайший путь из вершины в вершину с весовой функцией .

Сохранение кратчайших путей

Лемма (Изменение весов сохраняет кратчайшие пути). Пусть дан взвешенный ориентированный граф с весовой функцией , и пусть — произвольная функция, отображающая вершины на действительные числа. Для каждого ребра определим

Пусть — произвольный путь из вершины в вершину . является кратчайшим путем с весовой функцией тогда и только тогда, когда он является кратчайшим путем с весовой функцией , то есть равенство равносильно равенству . Кроме того, граф содержит цикл с отрицательным весом с использованием весовой функции тогда и только тогда, когда он содержит цикл с отрицательным весом с использованием весовой функции .

Изменение веса

1. Для данного графа создадим новый граф , где , для некоторой новой вершины , а .
2. Расширим весовую функцию таким образом, чтобы для всех вершин выполнялось равенство .
3. Далее определим для всех вершин величину и новые веса для всех рёбер .

Основная процедура

В алгоритме Джонсона используется алгоритм Беллмана — Форда и алгоритм Дейкстры, реализованные в виде подпрограмм. Рёбра хранятся в виде списков смежных вершин. Алгоритм возврашает обычную матрицу размером , где , или выдает сообщение о том, что входной граф содержит цикл с отрицательным весом.

Алгоритм Джонсона

Строится граф 
if Bellman_Ford = FALSE
   then print «Входной граф содержит цикл с отрицательным весом»
   else for для каждой 
        do присвоить величине  значение ,
           вычисленное алгоритмом Беллмана — Форда
        for для каждого ребра 
            do 
        for для каждой вершины 
            do вычисление с помощью алгоритма Дейкстры
             величин 
            для всех вершин 
            for для каждой вершины 
                do 
   return D

Сложность

Если в алгоритме Дейкстры неубывающая очередь с приоритетами реализована в виде фибоначчиевой кучи, то время работы алгоритма Джонсона равно . При более простой реализации неубывающей очереди с приоритетами время работы становится равным , но для разреженных графов эта величина в асимптотическом пределе ведёт себя лучше, чем время работы алгоритма Флойда — Уоршелла.

См. также

• Алгоритм Дейкстры
• Алгоритм Беллмана — Форда
• Алгоритм Флойда — Уоршелла

Ссылки

• Визуализатор алгоритма

Литература

• Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ. — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4